BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar
Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan
dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah
matematika. Dengan mengubahnya kedalam bahasa atau persamaan matematika maka
persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan
sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga
kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya.
Bahkan dinegara maju sering ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan suatu
sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel yang nilainya harus
ditentukan.
Matriks, pada dasarnya merupakan suatu alat atau
instrumen yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan
menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang mencakup
hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Pada awalnya matrik ditemukan
dalam sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan yang berasal dari Inggris
yang bernama Arthur Cayley (1821-1895) yang mana studi yang dilakukan untuk
meneliti persamaan linier dan transformasi linear, awal dari semua ini matrik
dianggap sebagai sebuah permainan karena matrik dapat diaplikasikan, sedangkan
pada tahun 1925 matrik digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya
matrik digunakan dalam berbagai bidang.
1.2 Rumusan
Masalah
Berdasarkan uraian di atas kami menemukan permasalahan sebagai berikut :
1. Apa pengertian atau definisi matriks serta
bagaimana pengertian determinan dan invers matriks?
2. Bagaimana operasi penyelesaian matriks dan
permasalahan pada matriks?
1.3 Tujuan
Pembahasan
Berdasarkan uraian di atas kami menemukan permasalahan sebagai berikut:
1.
Menjelaskan tentang pengertian dan definisi matriks, dan pengertian determinan
dan invers matriks
2. Menjelaskan
tentang jenis-jenis operasi matriks dan
penyelesaian masalah pada matriks.
BAB II
PEMBAHASAN
Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan dalam
bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom dan dibatasi oleh kurung biasa atau kurung
siku. Sebuah matriks terdiri dari baris dan kolom. Baris suatu matriks adalah
susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks, sedangkan kolom suatu
matrik adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak (vertikal) dalam matrik.
Notasi Matriks
Cara penulisan matriks adalah menggunakan dengan huruf besar, A, B, C dan
sebagainya.Pada umumnya aij akan menyatakan entri matriks A yang
berada pada baris i dan kolom j. Jadi jika A adalah matriks m x n ,
maka:
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
am1 am2 … amn
Jka matriks
A, maka entrinya aij , matriks B entrinya bij , dan C = cij
, dan seterusnya. Matriks yang memiliki hanya satu baris atau satu kolom di
sebut vektor. Jika tupel- n dinyatakan sebagai matriks 1 x n disebut Vektor
baris, dan matriks n x 1 disebut vektor kolom.
Contoh:
Penyelesaian persamaan
linier
X1 +
X2 = 3
X1 -
X2 = 1
Vektor baris = (
2 1 )
Vektor kolom = 2
1
Biasanya persamaan-persamaan dalam matriks digunakan
vektor kolom ( n x 1), maka notasi baku vektor kolom adalah huruf kecil:
x1
x =
x2
x3
Diberikan suatu matriks A berordo mx n, vektor baris
ke-I dari A dinyatakan oleh a (1,: ) dan vektor kolom ke j dinyatakan oleh a (
:, j).
Bila A suatu matriks m x n , vektor baris A diberikan
oleh a ( 1,: ) = (ai1, ai2, . . . ain ) i = 1, 2, 3, . .
. , n , vektor kolom a ( :, j ) adalah sama dengan :
a1j
a2j
amj
sehingga matriks A dinyatakan oleh vektor baris
/ kolom
A = ( a1, a2, . . . ., an
) atau : a ( 1, . . . )
a ( 2, . . . )
a ( m, . . . )
Agar dua matriks menjadi sama, maka kedua matriks
harus mempunyai ordo yang sama dan entri-entri yang seletak sama.
Definisi:
Dua matriks A dan B
berordo masing-masing berordo m x n dikatakan sama, jika aij = bij untuk setiap
I dan j.
Penjumlahan
Matriks
Dua matriks dengan ordo yang sama dapat
dijumlahkan dengan menjumlahkan entri-entri yang seletak.
Definisi:
Jika
A = aij dan B = bij kedua-duanya adalah matriks m x n . maka jumlah A + B
aadalah aij + bij untuk setiap pasang ( i, j ).
Contoh:
1. 3 2 1 2 2 2 5 4
3
4 5 6 + 1 2 3 = 5 7
9
Perkalian
Matriks
Lebih umum perkalian matriks A dan B
jika banyaknya kolom dari A sama dengan banyaknya baris dari B.
Definisi:
Jika
a = aij adalah matriks m x n dan B = bij matriks n x r, maka hasil
kali AB = C =cij adalah matriks m x n yang entrinya di definisikan
oleh:
Cij = a ( i ,
: ) b ij =
Contoh:
1. Buktikan bahwa
AB ¹ BA
3 -2
B
= 2 4 A
= -2 1
3
1 -3 4 1 6
2. Buktikan bahwa
XY ¹ YX
Y = 1 1 X= 1 1
0
0 2 2
3. Berat
badan Bob adalah 178 pound. Dia ingin
mengurangi berat badan melalui diet dan latihan fisik. Sesudah mencari
keterangan dari tabel 1, dia membuat jadwal latihan fisik pada tabel 2. Berapa
kalori yang akan terbakar dengan melakukan latihan fisik setiap hari jika dia
mengikuti rencana ini.
Tabel.1.
Kalori yang terbakar tiap jam
Aktifitas latihan Berat badan dalam pound
152 161
178
Jalan kaki = 2 mil/jam 213 225
249
Lari 5,5 mil/jam 651 688 764
Sepeda 5,5 mil/jam 304 321 356
Tenis secukupnya 420 441 492
Tabel.2.
Jumlah jam/hari untuk setiap aktifitas jadwal latihan
Jadwal
Latihan
Jalan
Lari Sepeda Tenis
Senin 1 0 1 0
Selasa 0 0 0 2
Rabu 0,4
0,5 0 0
Kamis 0
0 0,5
2
Jumat 0,4
0,5 0
0
4. Sebuah perusahaan menghasilkan 3 buah produk: Biaya
produksi dibagi ke dalam 3 kategori, dan setiap kategori diberikan taksiran
untuk biaya produksi barang dari masing-masing produk. Dibuat juga suatu
taksiran untuk jumlah masing-masing produk yang akan dihasilkan setiap
kuartal.Taksiran tersebut disajikan dalam tabel 1 dan tabel 2.
Perusahaan ingin menyajikan pada rapat pemegang saham
(tabel menunjukkan biaya total setiap kuartal dari masing-masing pada 3 buah
kategori yaitu bahan mentah, tenaga kerja, dan biaya overhead)
Tabel.1.
Biaya
produksi per barang ( $ )
Produk
Biaya A B C
Bahan mentah 0,1 0,3 0,15
Tenaga kerja 0,3 0,4 0,25
Biaya overhead 0,1 0,2 0,15
Tabel.2.
Jumlah yang dihasilkan per kuartal
Musim
Produk Panas Gugur Dingin Semi
A 4000 4500 4500 4000
B 2000 2400 2400 2200
C 5800 6200 6000 6000
A.
TRANSPOSE
MATRIKS
Jika
A adalah suatu matriks m x n, maka transpose dari A dinotasikan sebagai AT.
Yaitu suatu matriks n x m yang dihasilkan dari saling menukarkan antara baris
dan kolom matriks A. Dalam hal ini kolom pertama dari matriks AT
adalah baris pertama dari matriks A, kolom kedua matriks AT adalah
baris kedua matriks A dan seterusnya.
Contoh:
2 3 2 1 5
A = 1 4 AT = 3 4 6
5 6
Ada 3 macam jenis matriks transpose
:
- Matriks simetris
- Matriks miring (skew)
- Matriks miring simetris (skew symetris )
Syarat utama pada ketiga jenis matriks ini adalah
bujur sangkar (ordo sama).
1.
Matriks
Simetris
Matriks elemen aij pada baris ke-I
dan kolom ke-j sama dengan elemen aji pada baris ke j dan kolom ke i.Hubungan
antara elemen tersebut berarti bahwa transpose dari sebuah matriks adalah sama
dengan matriks asal, maka matriks simetris adalah:
A
= AT jika A adalah matriks simetri
Contoh:
1 2 3 1 2 3
A= 2 4 5 AT = 2 4 5
3 5 6 3 5 6
- Matriks Skew (miring )
Matriks yang antara elemen-elemen yang tidak terletak
pada diagonal utamanya mempunyai hubungan negatif. Artinya aij = - aji dan
elemen diaginal utamanya boleh terdiri atas sembarang bilangan asalakan tidak
nol semuanya (aii ¹0)
Contoh:
1 2 3
-2 4 -5
-3 5 6
- Matriks Skew Simetris
Jika semua elemen diagonalnya adalah nol semuanya dan
transpose dari matriks ini sama dengan matriks asala dengan tanda negatif.
Matriks skew simetris mempunyai syarat :
A = - AT
Aij = -aji dan aii = 0
Contoh:
0 2 3 0 -2 -3
A = -2 0 -5 -AT = 2 0 5
-3 5 0 3 -5
0
Soal transpos matriks
1. Misalkan A =nbsp; dan B=
Jika A' menyatakan matriks tranpos dari A, maka persamaan A' = B dipenuhi bila
x = . . . . .
Pembahasan
A = maka A' =
A' = B, maka =
Diperoleh : x + y = 1 dan x = -2y
dengan demikian , x+y =1
<=> (-2y) + y = 1
<=> -y = 1
<=> y= -1
Untuk y =-1 , maka x = -2 (-1) =2
Soal transpos matriks
B. Invers Matriks
Invers matriks persegi atau bujur sangkar baik yang
berordo 2x2, 3x3 , maupun ordo nxn akan menjadi topik pembahasan kali ini. Sebelum mempelajari invers matriks, terlebih dahulu
akan dibahas tentang determinan matriks.
Determinan Matriks Ordo
2x2
Jika suatu
matriks persegi yang berordo 2x2, maka determinan matriks A ditulis |A| atau
det A adalah:
Contoh mencari determinan matriks ordo 2x2
Diketahui matriks-matriks dibawah ini:
Tentukan | A | dan | B |
[Penyelesaian]
Determinan matriks A dan B
adalah,
Syarat dua Matriks Saling Invers
Diketahui A dan B dua
buah matriks persegi yang berordo sama sehingga AB = BA = I ,
maka B adalah invers dari A ditulis B = dan A adalah invers dari B ditulis
A = . Maka,
Contoh dua matriks saling invers:
Diketahui matriks-matriks dibawah ini,
Tunjukkan bahwa AB = BA = I
[Penyelesaian]
Hasil kali matriks AB adalah,
Hasil kali matriks BA adalah,
Matriks Singular dan Matriks Non Singular
Matriks singular
adalah matriks yang
determinannya nol, dan matriks non singular adalah matriks yang
determinannya tidak nol
Contoh matriks singular
Diketahui matriks dibawah ini,
Buktikan bahwa A adalah matriks
singular!
[Penyelesaian]
Determinan matriks A adalah,
Rumus invers
matriks 2x2
Jika ,
maka adalah,
Dari rumus invers matriks diatas
dapat disimpulkan bahwa:
a.Suatu matriks persegi atau bujur
sangkar tidak memiliki invers jika dan hanya jika matriks persegi tersebut
singular.
b. Suatu matriks persegi
atau bujur sangkar memiliki invers jika dan hanya jika matriks persegi tersebut
non singular.
Invers Matriks
3x3
Cara menentukan invers matriks selain
ordo 2x2 dapat menggunakan adjoint matriks.
Jadi sebelum mempelajari cara mencari invers matriks ordo 3x3, terlebih dahulu
harus dipelajari tentang minor, kofaktor, dan adjoint.
1.Minor
Jika pada matriks A ordo 3x3 elemen
baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan maka akan didapat matriks
yang baru dengan ordo 2x2, determinan matriks baru dengan ordo 2x2 itulah yang
disebut minor ditulis dengan simbol . Agar lebih jelas perhatikan contoh
dibawah ini,
Jika diketahui matriks A ordo 3x3 ,
Maka minor-minor dari matriks A adalah
,
, hilangkan baris ke-1 dan
kolom ke-1 matriks A diatas maka sisanya adalah elemen-elemen di dalam
kotak merah dibawah ini
Sehingga mminor dari adalah :
, hilangkan baris ke-1 dan
kolom ke-2 matriks A diatas maka :
, hilangkan baris ke-3 dan
kolom ke-2 matriks A diatas maka:
Jadi, minor dari matriks A adalah:
2.Kofaktor
Kofaktor dituliskan dengan simbol dibaca
kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j dan rumus nya adalah :
Jika diketahui matriks A,
Dari rumus kofaktor diatas
maka kofaktor-kofaktor dari matriks A diatas adalah:
Jadi, kofaktor dari matriks A adalah,
Agar lebih jelas perhatikan contoh
dibawah ini!
Contoh 1
Diketahui matriks A yaitu,
Tentukan minor dan kofaktor dari
matriks A
[Penyelesaian]
a.Minor-minor dari matriks
A adalah,
Minor-minor dari matriks A lainnya
adalah ,
Jadi, matriks minornya
adalah:
b.Kofaktor-kofaktor
matriks A adalah:
Jadi, matriks kofaktornya adalah:
C. Adjoint
Adjoint suatu matriks diperoleh dari
transpose matriks kofaktornya.
Pemahaman anda tentang adjoint, minor, determinan dan kofaktor sangat
dibutuhkan dalam menentukan invers matriks ordo 3x3
Rumus invers
matriks ordo 3x3
Rumus invers matriks ordo 3x3
adalah:
Contoh
Tentukan invers matriks A dibawah
ini,
[Penyelesaian]
Dari contoh 1 kofaktor matriks A
adalah :
Maka Adjoint matriks A
adalah transpose kofaktor matriks A, yaitu :
Dan
determinan matriks A adalah:
Jadi invers matriks A adalah:
Seperti itulah contoh cara menentukan invers
matriks baik baik invers matriks ordo 2x2, maupun ordo 3x3.
D. Determinan Matriks ordo 3x3
Untuk menentukan
determinan matriks ordo 3x3 menggunakan metode sarrus. Perhatikan contoh
dibawah ini,
Jika
matriks B diketahui seperti dibawah ini,
Maka determinan matriks B dapat ditentukan
dengan metode sarrus yaitu:
Contoh soal :
Tentukan determinan matriks
dibawah ini,
[Penyelesaian]
Dengan menggunakan metode sarrus, maka
determinan matriks B adalah
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan :
Pada dasarnya dalam kehidupan sehari-hari kita sering
berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan
masalah matematika. Dengan kata lain kita selalu bersentuhan dengan
persoalan-persoalan yang berkaitan dengan matematika entah itu kita sadari ataupun
tidak. Agar mudah difahami maka persoalan tersebut diubah kedalam bahasa atau
persamaan matematika supaya persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi
terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan
beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan
antara variabel-variabelnya.
Adapun matriks sendiri merupakan susunan elemen-elemen
yang berbentuk persegi panjang yang di atur dalam baris dan kolom dan di batasi
sebuah tanda kurung di sebut matriks.
3.2 Saran :
Matematika
merupakan salah satu mata pelajaran yang paling tidak disukai oleh
anak-anak. Kenyataan di lapangan membuktikan cukupbanyak siswa yang tidak suka
bahkan membenci mata pelajaran matematika. Dalam benak mereka matematika
merupakan mata pelajaran yang sangat sulit untuk dimengerti bahkan membosankan.
Hal ini menjadi
dilema bagi para pendidik dan para ahli, karena matematika merupakansalah satu
pengetahuan untuk sains dan teknologi yang sangat perlu bagi kelanjutan
pembangunan. Apalagi dalam memasuki abad ke -21 yangditandai dengan kemajuan
dalam perkembangan IPTEK, pengetahuan siapdan kepiawaian berpikir logis yang
dikembangakan dalam pelajaranmatematika sangat diperlukan.
Dalam menghadapi era globalisasi yang diiringi dengan
perkembangan IPTEK yang sangat pesat, maka peningkatan kualitas-kualitas sumber
daya manusia mempunyai posisi yang strategis bagi keberhsilan dan kelanjutan
pembangunan nasional. Oleh sebab itu, upaya tersebut mutlak harus mendapat
perhatian yangsungguh-sungguh dan harus dirancang secara sistematis dan seksama
berdasarkan pemikiran yang matang. Wadah yang tepat bagi upaya peningkatan
kualitas sumberdaya manussia adalah pendidikan.
Ada beberapa
indikator dalam peningkatan mutu
pendidikan antara lain melalui peningkatan kinerja guru dan peningkatan
mutupelajaran yang melibatkan MBS, Pakem, serta peran serta masyarakat
(PSM).Dalam kaitannya dengan Pakem, guru dituntut untuk menciptakan situasi
pembelajaran yang kondusif, yaitu pembelajaran yang aktif, kreatif, efektif,
danmenyenangkan. Situasi pakem tersebut harus diupayakan untuk semua mata
pelajaran.
Dengan begitu, diharapkan peningkatan mutu pendidikn
pendidikan dapat tercapaisecara optimal. Guru sebagai faktor penentu dan paling
berpengaruh dalam hal menanamkan konsep terhadap siswa. Penguasaan guru
terhadap materi pelajaran, kemampuan guru dalam memilih dan menggunakan metode
pembelajaran serta kemampuan guru dalam menetapkan media pembelajaran sangat
menentukan terhadap keberhasilan proses pembelajaran, di samping adanya potensi
dan kemauan siswa sendiri.Terilhami oleh suatu ungkapan
‘’ saya
mendengar lalu saya lupa, saya melihat lalu saya ingat, saya berbuat lalu saya
mengerti’’
, maka penulis berasumsi bahwa pemakaian media
pembelajaran menjadikan anak bisa melihat dan berbuat tidak hanya mendengar.
Oleh karena itu, dalam tulisan ini penulis memperkenalkansebuah media
pembelajaran yang berupa alat peraga perkalian model matrik. Dengan alat peraga
perkalian siswa bisa bermain dengan angka-angka untuk dicari hasilkalinya. Di
sisi lain, dengan karya tulis ini penulis ingin meningkatkan minat belajar anak
terhadap matematika serta menghilangkan asumsi anak bahwa pelajaran matematika
membosankan.