MAKALAH MATRIKS

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan mengubahnya kedalam bahasa atau persamaan matematika maka persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya. Bahkan dinegara maju sering ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel yang nilainya harus ditentukan.

Matriks, pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrumen yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Pada awalnya matrik ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan yang berasal dari Inggris yang bernama Arthur Cayley (1821-1895) yang mana studi yang dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan transformasi linear, awal dari semua ini matrik dianggap sebagai sebuah permainan karena matrik dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun 1925 matrik digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matrik digunakan dalam berbagai bidang.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian di atas kami  menemukan permasalahan sebagai berikut :

1.     Apa pengertian atau definisi matriks serta bagaimana pengertian determinan dan invers matriks?

2.     Bagaimana operasi penyelesaian matriks dan permasalahan pada matriks?

1.3 Tujuan Pembahasan

Berdasarkan uraian di atas kami  menemukan permasalahan sebagai berikut:

1.    Menjelaskan tentang pengertian dan definisi matriks, dan pengertian determinan dan invers matriks

2.     Menjelaskan tentang jenis-jenis operasi matriks  dan penyelesaian masalah pada matriks.

BAB II

PEMBAHASAN

Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom  dan dibatasi oleh kurung biasa atau kurung siku. Sebuah matriks terdiri dari baris dan kolom. Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks, sedangkan kolom suatu matrik adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak (vertikal) dalam matrik.

Notasi Matriks

Cara penulisan matriks adalah menggunakan dengan huruf besar, A, B, C dan sebagainya.Pada umumnya a_ij akan menyatakan entri matriks A yang berada pada baris i dan kolom j. Jadi jika A adalah matriks m x n , maka:

                                       a₁₁     a₁₂        …  a_1n                         

                                       a₂₁     a₂₂        …  a_2n             

                                      a_m1     a_m2       …  a_mn

Jka matriks A, maka entrinya a_ij , matriks B entrinya b_ij , dan C = c_ij , dan seterusnya. Matriks yang memiliki hanya satu baris atau satu kolom di sebut vektor. Jika tupel- n dinyatakan sebagai matriks 1 x n disebut Vektor baris, dan matriks n x 1 disebut vektor kolom.

Contoh:

            Penyelesaian persamaan linier

             X₁     +    X₂   =    3

              X₁    -   X₂    =    1

            Vektor baris    =  ( 2    1 )

Vektor kolom  =          2

                                                1

Biasanya persamaan-persamaan dalam matriks digunakan vektor kolom ( n x 1), maka notasi baku vektor kolom adalah huruf kecil:

                              x₁

x       =      x₂

                              x₃

Diberikan suatu matriks A berordo mx n, vektor baris ke-I dari A dinyatakan oleh a (1,: ) dan vektor kolom ke j dinyatakan oleh a ( :, j).

Bila A suatu matriks m x n , vektor baris A diberikan oleh a ( 1,: ) = (a_i1, a_i2, . . . ain ) i = 1, 2, 3, . . . , n , vektor kolom a ( :, j ) adalah sama dengan :

                                                    a_1j

                                                    a_2j

                                                   a_mj                            

 sehingga matriks A dinyatakan oleh vektor baris / kolom

A = ( a₁, a₂, . . . ., a_n ) atau :          a ( 1, . . . )

                                                      a ( 2, . . . )

                                                      a ( m, . . . )

Agar dua matriks menjadi sama, maka kedua matriks harus mempunyai ordo yang sama dan entri-entri yang seletak sama.

Definisi:

            Dua matriks A dan B berordo masing-masing berordo m x n dikatakan sama, jika aij = bij untuk setiap I dan j. 

Penjumlahan Matriks

                        Dua  matriks dengan ordo yang sama dapat dijumlahkan dengan menjumlahkan entri-entri yang seletak.

Definisi:

            Jika A = aij dan B = bij kedua-duanya adalah matriks m x n . maka jumlah A + B aadalah a_ij + b_ij untuk setiap pasang ( i, j ).

Contoh:

1. 3      2          1                      2          2          2                      5      4      3     

     4     5          6          +          1          2          3          =          5      7      9

 Perkalian Matriks

                    Lebih umum perkalian matriks A dan B jika banyaknya kolom dari A sama dengan banyaknya baris dari B.

Definisi:

            Jika a = a_ij adalah matriks m x n dan B = bij matriks n x r, maka hasil kali AB = C =c_ij adalah matriks m x n yang entrinya di definisikan oleh:

Cij   = a ( i , : )  b _ij =

Contoh:

1. Buktikan bahwa  AB ¹ BA

                         3         -2                                

            B =       2          4                     A =       -2        1          3         

1         -3                                   4        1          6         

2. Buktikan bahwa  XY ¹ YX

Y =      1            1                                X=       1          1

               0          0                                           2          2

3. Berat badan Bob adalah  178 pound. Dia ingin mengurangi berat badan melalui diet dan latihan fisik. Sesudah mencari keterangan dari tabel 1, dia membuat jadwal latihan fisik pada tabel 2. Berapa kalori yang akan terbakar dengan melakukan latihan fisik setiap hari jika dia mengikuti rencana ini.

Tabel.1.

Kalori yang terbakar tiap jam

Aktifitas latihan                                                    Berat badan dalam pound

                                                                                    152      161     178

Jalan kaki = 2 mil/jam                                                 213      225      249

Lari 5,5 mil/jam                                                           651      688      764

Sepeda 5,5 mil/jam                                                      304      321      356

Tenis secukupnya                                                        420      441      492

Tabel.2.

Jumlah jam/hari untuk setiap aktifitas jadwal latihan

                                                            Jadwal Latihan

                                    Jalan       Lari       Sepeda        Tenis

Senin                             1             0                1               0

Selasa                            0             0                0               2

Rabu                            0,4           0,5              0               0  

Kamis                            0             0               0,5             2

Jumat                           0,4           0,5               0              0

4. Sebuah perusahaan menghasilkan 3 buah produk: Biaya produksi dibagi ke dalam 3 kategori, dan setiap kategori diberikan taksiran untuk biaya produksi barang dari masing-masing produk. Dibuat juga suatu taksiran untuk jumlah masing-masing produk yang akan dihasilkan setiap kuartal.Taksiran tersebut disajikan dalam tabel 1 dan tabel 2.

Perusahaan ingin menyajikan pada rapat pemegang saham (tabel menunjukkan biaya total setiap kuartal dari masing-masing pada 3 buah kategori yaitu bahan mentah, tenaga kerja, dan biaya overhead)

Tabel.1.

                                Biaya produksi per barang ( $ )

                                                                                    Produk

Biaya                              A             B             C

Bahan mentah                                     0,1                   0,3                   0,15

Tenaga kerja                                        0,3                   0,4                   0,25

Biaya overhead                                   0,1                   0,2                   0,15

Tabel.2.

                                                       Jumlah yang dihasilkan per kuartal

                                                                                  Musim

Produk                                                Panas               Gugur              Dingin             Semi

A                                             4000                4500                4500                4000

B                                             2000                2400                2400                2200

C                                             5800                6200                6000                6000

A.   TRANSPOSE  MATRIKS

                        Jika A adalah suatu matriks m x n, maka transpose dari A dinotasikan sebagai A^T. Yaitu suatu matriks n x m yang dihasilkan dari saling menukarkan antara baris dan kolom matriks A. Dalam hal ini kolom pertama dari matriks A^T adalah baris pertama dari matriks A, kolom kedua matriks A^T adalah baris kedua matriks A dan seterusnya.

Contoh:

                   2         3                                        2          1          5

    A =         1         4                A^T   =              3          4          6

                    5        6

Ada  3 macam jenis matriks transpose :

1. Matriks simetris
2. Matriks miring (skew)
3. Matriks miring simetris (skew symetris ) 

Syarat utama pada ketiga jenis matriks ini adalah bujur sangkar (ordo sama).

1.               Matriks Simetris

Matriks elemen aij pada baris ke-I dan kolom ke-j sama dengan elemen aji pada baris ke j dan kolom ke i.Hubungan antara elemen tersebut berarti bahwa transpose dari sebuah matriks adalah sama dengan matriks asal, maka matriks simetris adalah:

A    = A^T jika A adalah matriks simetri

Contoh:

1          2          3                                              1          2          3

A=       2          4          5                           A^T    =        2          4          5

            3          5          6                                              3          5          6         

2. Matriks Skew (miring )

Matriks yang antara elemen-elemen yang tidak terletak pada diagonal utamanya mempunyai hubungan negatif. Artinya aij = - aji dan elemen diaginal utamanya boleh terdiri atas sembarang bilangan asalakan tidak nol semuanya (aii ¹0)

Contoh:

1          2          3                     

-2         4          -5

-3         5          6           

3. Matriks Skew Simetris

Jika semua elemen diagonalnya adalah nol semuanya dan transpose dari matriks ini sama dengan matriks asala dengan tanda negatif.

Matriks skew simetris mempunyai syarat :

            A         = - A^T

            Aij       = -a_ji dan a_ii = 0

Contoh:

                        0          2          3                                          0      -2        -3

     A     =         -2         0          -5                     -A^T  =         2       0         5

                        -3         5          0                                         3       -5         0

Soal transpos matriks

1.         Misalkan A =nbsp; dan B=
Jika A' menyatakan matriks tranpos dari A, maka persamaan A' = B dipenuhi bila x = . . . . .

Pembahasan
A = maka A' =

A' = B, maka =

Diperoleh : x + y = 1 dan x = -2y
dengan demikian , x+y =1
<=> (-2y) + y = 1
<=> -y = 1
<=> y= -1
Untuk y =-1 , maka x = -2 (-1) =2

Soal transpos matriks 

B.   Invers Matriks

                        Invers matriks persegi atau bujur sangkar baik yang berordo 2x2,  3x3 , maupun ordo nxn akan menjadi topik pembahasan kali ini. Sebelum mempelajari invers matriks, terlebih dahulu akan dibahas tentang determinan matriks.

Determinan Matriks Ordo   2x2

Jika  suatu matriks persegi yang berordo 2x2, maka determinan matriks A ditulis |A| atau det A adalah:

Contoh mencari determinan matriks ordo 2x2

Diketahui matriks-matriks dibawah ini:

Tentukan | A | dan | B |

[Penyelesaian]

Determinan matriks A dan B adalah, 

Syarat dua Matriks Saling Invers

Diketahui A dan B dua buah matriks persegi yang berordo sama sehingga  AB = BA = I , maka B adalah invers dari A ditulis B =  dan A adalah invers dari B ditulis A = . Maka, 

Contoh dua matriks saling invers:

Diketahui matriks-matriks dibawah ini,

Tunjukkan bahwa AB = BA = I

[Penyelesaian]

Hasil kali matriks AB adalah,

Hasil kali matriks BA adalah,

Matriks Singular dan Matriks Non Singular

Matriks singular adalah matriks yang determinannya nol, dan matriks non singular adalah matriks yang determinannya tidak nol

Contoh matriks singular

Diketahui matriks dibawah ini, 

Buktikan bahwa A adalah matriks singular!

[Penyelesaian]

Determinan matriks A adalah,

Rumus invers matriks 2x2             

Jika , maka  adalah, 

Dari rumus invers matriks diatas dapat disimpulkan bahwa:

a.Suatu matriks persegi atau bujur sangkar tidak memiliki invers jika dan hanya jika matriks persegi tersebut singular.

b. Suatu matriks persegi atau bujur sangkar memiliki invers jika dan hanya jika matriks persegi tersebut non singular.

Invers Matriks 3x3                

Cara menentukan invers matriks selain ordo 2x2 dapat menggunakan adjoint matriks. Jadi sebelum mempelajari cara mencari invers matriks ordo 3x3, terlebih dahulu harus dipelajari tentang minor, kofaktor, dan adjoint.

1.Minor

Jika pada matriks A ordo 3x3 elemen baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan maka akan didapat matriks yang baru dengan ordo 2x2, determinan matriks baru dengan ordo 2x2 itulah yang disebut minor ditulis dengan simbol  . Agar lebih jelas perhatikan contoh dibawah ini,

Jika diketahui matriks A ordo 3x3 ,

Maka minor-minor dari matriks A adalah ,

, hilangkan baris ke-1 dan kolom ke-1 matriks A diatas maka sisanya adalah elemen-elemen di dalam kotak merah dibawah ini 

Sehingga mminor dari   adalah :

, hilangkan baris ke-1 dan kolom ke-2 matriks A diatas maka :

, hilangkan baris ke-3 dan kolom ke-2 matriks A diatas maka:

Jadi, minor dari matriks A adalah:

2.Kofaktor

Kofaktor dituliskan dengan simbol  dibaca kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j dan rumus nya adalah :

Jika diketahui matriks A,

Dari rumus kofaktor diatas maka kofaktor-kofaktor dari matriks A diatas adalah:

Jadi, kofaktor dari matriks A adalah,

Agar lebih jelas perhatikan contoh dibawah ini!

Contoh 1

Diketahui matriks A yaitu,

Tentukan minor dan kofaktor dari matriks A

[Penyelesaian]

a.Minor-minor dari matriks A adalah,

Minor-minor dari matriks A lainnya adalah ,

Jadi,  matriks minornya  adalah:

b.Kofaktor-kofaktor matriks A adalah:

Jadi, matriks kofaktornya adalah:

C.   Adjoint

Adjoint suatu matriks diperoleh dari transpose matriks kofaktornya. Pemahaman anda tentang adjoint, minor, determinan dan kofaktor sangat dibutuhkan dalam menentukan invers matriks ordo 3x3

Rumus invers matriks ordo 3x3

Rumus invers matriks ordo 3x3 adalah:

Contoh

Tentukan invers matriks A dibawah ini, 

[Penyelesaian]

Dari contoh 1 kofaktor matriks A adalah :

Maka Adjoint matriks A adalah transpose kofaktor matriks A, yaitu :

Dan determinan matriks A adalah:

Jadi invers matriks A adalah:

Seperti itulah contoh cara menentukan invers matriks baik baik invers matriks ordo 2x2, maupun ordo 3x3.

D.  Determinan Matriks ordo 3x3

Untuk menentukan determinan matriks ordo 3x3 menggunakan metode sarrus. Perhatikan contoh dibawah ini,

Jika matriks B diketahui seperti dibawah ini,

Maka determinan matriks B dapat ditentukan dengan metode sarrus yaitu:

Contoh soal :

Tentukan determinan matriks  dibawah ini,

[Penyelesaian]

Dengan menggunakan metode sarrus, maka determinan matriks B adalah

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan :

Pada dasarnya dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan kata lain kita selalu bersentuhan dengan persoalan-persoalan yang berkaitan dengan matematika entah itu kita sadari ataupun tidak. Agar mudah difahami maka persoalan tersebut diubah kedalam bahasa atau persamaan matematika supaya persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya.

Adapun matriks sendiri merupakan susunan elemen-elemen yang berbentuk persegi panjang yang di atur dalam baris dan kolom dan di batasi sebuah tanda kurung di sebut matriks.

3.2 Saran :

Matematika  merupakan salah satu mata pelajaran yang paling tidak disukai oleh anak-anak. Kenyataan di lapangan membuktikan cukupbanyak siswa yang tidak suka bahkan membenci mata pelajaran matematika. Dalam benak mereka matematika merupakan mata pelajaran yang sangat sulit untuk dimengerti bahkan membosankan.

 Hal ini menjadi dilema bagi para pendidik dan para ahli, karena matematika merupakansalah satu pengetahuan untuk sains dan teknologi yang sangat perlu bagi kelanjutan pembangunan. Apalagi dalam memasuki abad ke -21 yangditandai dengan kemajuan dalam perkembangan IPTEK, pengetahuan siapdan kepiawaian berpikir logis yang dikembangakan dalam pelajaranmatematika sangat diperlukan.

Dalam menghadapi era globalisasi yang diiringi dengan perkembangan IPTEK yang sangat pesat, maka peningkatan kualitas-kualitas sumber daya manusia mempunyai posisi yang strategis bagi keberhsilan dan kelanjutan pembangunan nasional. Oleh sebab itu, upaya tersebut mutlak harus mendapat perhatian yangsungguh-sungguh dan harus dirancang secara sistematis dan seksama berdasarkan pemikiran yang matang. Wadah yang tepat bagi upaya peningkatan kualitas sumberdaya manussia adalah pendidikan.

 Ada beberapa indikator dalam peningkatan mutu  pendidikan antara lain melalui peningkatan kinerja guru dan peningkatan mutupelajaran yang melibatkan MBS, Pakem, serta peran serta masyarakat (PSM).Dalam kaitannya dengan Pakem, guru dituntut untuk menciptakan situasi pembelajaran yang kondusif, yaitu pembelajaran yang aktif, kreatif, efektif, danmenyenangkan. Situasi pakem tersebut harus diupayakan untuk semua mata pelajaran.

Dengan begitu, diharapkan peningkatan mutu pendidikn pendidikan dapat tercapaisecara optimal. Guru sebagai faktor penentu dan paling berpengaruh dalam hal menanamkan konsep terhadap siswa. Penguasaan guru terhadap materi pelajaran, kemampuan guru dalam memilih dan menggunakan metode pembelajaran serta kemampuan guru dalam menetapkan media pembelajaran sangat menentukan terhadap keberhasilan proses pembelajaran, di samping adanya potensi dan kemauan siswa sendiri.Terilhami oleh suatu ungkapan

‘’ saya mendengar lalu saya lupa, saya melihat lalu saya ingat, saya berbuat lalu saya mengerti’’

, maka penulis berasumsi bahwa pemakaian media pembelajaran menjadikan anak bisa melihat dan berbuat tidak hanya mendengar. Oleh karena itu, dalam tulisan ini penulis memperkenalkansebuah media pembelajaran yang berupa alat peraga perkalian model matrik. Dengan alat peraga perkalian siswa bisa bermain dengan angka-angka untuk dicari hasilkalinya. Di sisi lain, dengan karya tulis ini penulis ingin meningkatkan minat belajar anak terhadap matematika serta menghilangkan asumsi anak bahwa pelajaran matematika membosankan.